物理/エネルギーと保存則
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(版間での差分)
(→保存力と位置エネルギー) |
(→エネルギー) |
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| (間の3版分が非表示) | |||
| 399 行: | 399 行: | ||
{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|^2} | {\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|^2} | ||
\frac{\vec{r^j} - \vec{r^i}}{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|}\qquad (1)$<br/> | \frac{\vec{r^j} - \vec{r^i}}{\|\vec{r^j} - \vec{r^i}\|}\qquad (1)$<br/> | ||
| - | + | <br/> | |
| - | + | （注）5章で学ぶ電荷間の電気力も同様に扱える。<br/><br/> | |
| - | （注）5章で学ぶ電荷間の電気力も同様に扱える。 | + | |
補題<br/> | 補題<br/> | ||
(1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|} | (1)$\frac{\partial }{\partial \vec{r^i}}\frac{1}{\|\vec{r^j}-\vec{r^i}\|} | ||
| 432 行: | 431 行: | ||
$= -\vec{F_G^i}$<br/> | $= -\vec{F_G^i}$<br/> | ||
補題の証明終わり。<br/><br/> | 補題の証明終わり。<br/><br/> | ||
| - | + | 前項「力の場が保存的である必要十分条件」の(1)式とこの補題から、<br/> | |
| - | + | 関数$U(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^n})$は、<br/> | |
| - | + | 各質点に作用する万有引力$(\vec{F_G^1},\cdots,\vec{F_G^N})$の | |
| - | + | ポテンシャル関数とみなせることが推察できる。<br/> | |
| - | + | そこで次の定義を与える。<br/><br/> | |
| - | $U(\vec{r^1 | + | |
| - | + | ||
| + | 定義。N個の質点 $m_i$(i=1,,,N) のそれぞれに作用する力<br/> | ||
| + | $\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})$ の集まり<br/> | ||
| + | $\{\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})\}_{1}^{N}$が'''保存力'''とは、 | ||
| + | <br/> | ||
| + | $\vec{F_G^i}=-\frac{\partial U}{\partial \vec{r^i}}$<br/> | ||
| + | が成立するような連続的微分可能な関数<br/> | ||
| + | $U(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^n})$<br/> | ||
| + | が存在すること。<br/> | ||
| + | この時、関数$U$を、<br/> | ||
| + | $\{\vec{F^i}(\vec{r^1},\cdots,\vec{r^N})\}_{1}^{N}$ の | ||
| + | '''ポテンシャル関数'''と呼び、<br/> | ||
| + | 関数値$U(\vec{r^1},\vec{r^2},\cdots,\vec{r^N})$ を | ||
| + | 質点系のポテンシャルエネルギーと呼ぶ。 | ||
| + | <br/><br/> | ||
=====力学的エネルギーの保存則 ===== | =====力学的エネルギーの保存則 ===== | ||
| 484 行: | 495 行: | ||
証明終わり。<br/><br/> | 証明終わり。<br/><br/> | ||
| - | + | 系；相互作用が保存力である質点系の力学的エネルギーは保存される。 | |
==運動量と保存則== | ==運動量と保存則== | ||
